材料力学笔记之——弯曲试验的切应力、梁的强度条件

横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。下面，讨论几种常见截面梁的弯曲试验时的切应力。

矩形截面

从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx的微段，该段梁上没有载荷作用，微段两侧截面上的剪力相等，但方向相反。右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量，因为弯矩不等，因而两截面上的正应力也不相同。

对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力，根据切应力互等定理，截面上两侧边各点处的切应力与边界相切，即与边界平行，梁发生对称弯曲，对称轴y轴上的切应力一定沿着y方向，在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。

于是，关于横截面上切应力的分布规律，作以下假设：

横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力;

切应力沿截面宽度均匀分布，即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。

截面高宽比大于2的情况下，以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比，有足够的精确度。

根据切应力互等定理，横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。沿矩中性轴距离y 的纵向面把微段截开，取纵向面下侧微元，受力如图所示。

左侧截面上正应力的合力为

右侧截面上正应力的合力为

显然这两个合力大小不等，纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡，这个力为切应力的合力，这也证明了纵向截面上存在切应力，由于dx是小量，则设纵向面的切应力均匀分布

根据平衡条件

即

其中

由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系

可得

其中：b为截面上矩中性轴为y的横线的宽度，对于矩形截面为常数;Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩;Sz*为横截面上矩中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩;Fs为横截面上的剪力。

其中

代入切应力计算公式

切应力沿截面高度为抛物线分布，当y=0时，即中性轴处有截面上的最大切应力

可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布，此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图，验证了横力弯曲变形不满足平面假设。

剪力不变的横力弯曲，相邻横截面上的切应力相同，翘曲程度也相同，纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变，因此不会引起附加的正应力。若剪力随截面位置而变化，相邻两截面上的翘曲程度不同，在截面上引起附加的正应力。

对于其他形状的对称截面，均可按上述的推导方法，求得切应力的近似解。对于矩形截面，在应力计算公式中截面宽度b为常数，而中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩最大，所以中性轴上各点处的切应力为最大。

对于其他形状的对称截面，横截面上的最大切应力通常也均发生在中性轴上的各点处，只有宽度在中性轴处显著增大的截面(如十字形截面)或某些变宽度的截面(如等腰三角形截面)等除外。因此，下面对于工字形、环形和圆形截面梁，主要讨论其中性轴上各点处的最大切应力。

由切应力互等定理，在圆截面边缘上各点处切应力的方向与圆周相切。而在对称轴的各点处，由对称性其切应力必沿y方向。因此，切应力分布规律可以假设为：

沿距中性轴为y 的宽度上各点处的切应力均汇交于对称轴一点;

沿宽度各点处切应力沿y 方向的分量相等。

在提高截面的抗弯截面系数的同时，还希望用较少的材料，达到较好的经济性。因此，一般用抗弯截面系数与截面面积的比值衡量截面设计的合理性。在相同截面面积的情况下，矩形截面(高度大于宽度)比圆形截面合理，而工字形截面或箱形截面比矩形截面合理。所以，为了充分利用材料，应尽可能地把材料放置到离中性轴较远处。

在讨论截面的合理形状时，还应考虑到材料的特性。对抗拉和抗压强度相同的材料(如低碳钢)，宜采用对中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形、箱形等。这样可使截面上、下边缘处的最大拉应力和最大压应力数值相等。

对抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁、水泥等)，宜采用中性轴偏向于受拉一侧的截面形状。

等强度梁的概念

前面讨论的梁都是等截面的，抗弯截面系数为常数，但通常情况下梁的各截面弯矩是随截面的位置而变化的。等直梁的截面设计要根据最大弯矩处进行，其最大应力接近许用应力，其余各截面上弯矩较小，应力也就较小，材料没有充分利用。为了节约材料，减轻自重，可改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。

如变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力，称为等强度梁。

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